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三角関数の加法定理の証明

デジタル信号処理

三角関数の加法定理の証明の図をsvgで書いてみた。

image/svg+xml α β β β o A B C E F G 1 cosα sinα cosαsinβ cosαcosβ sinαsinβ sinαcosβ

証明というか説明すると、

  • まずOAが1の直角三角形OBCを書く。
  • OBを斜辺とする直角三角形OBCを描く。
  • AからOCに垂線を引き、OCとの交点をE、OBとの交点をFとする。
  • BからAEに垂線を引き、その交点をGとする。
  • ABはsinαである。
  • OBはcosαである。
  • BCOBsinβ = cosαsinβである。
  • OCOBcosβ = cosαcosβである。
  • ∠BFA = ∠OFEである。∠ABF=∠FEO=90°である。よって∠BAF=∠FOE=βである。
  • よってAGABcosβ = sinαcosβ、BGは sinαsinβである。
  • sin(α+β)はAEに等しい。OAが1なので。
  • AE=AG+GE=AG+BC=sinαcosβ+cosαsinβである。よってsin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
  • 同様にcos(α+β)=OE=OC-EC=cosαcosβ - sinαsinβである。

証明法はこれ以外にもいろいろあるのだけれど、私はこれが一番わかりやすかった。子供の数学の教科書の証明はちょっとわかりにくかった。